他在笔记本上，画了一个复数平面。横轴是实轴，纵轴是虚轴。实轴上的点，代表实数；虚轴上的点，代表纯虚数；而平面上的其他点，代表复数z=a+bi。
他发现，复数的加法，对应着复数平面上的向量加法。比如，两个复数z_1=a_1+b_1i和z_2=a_2+b_2i相加，得到的复数z=z_1+z_2=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i，对应的向量，就是z_1和z_2对应的向量的和。
而复数的乘法，对应着复数平面上的向量旋转和伸缩。比如，一个复数z=a+bi乘以i，得到的复数zi=-b+ai，对应的向量，就是z对应的向量逆时针旋转90^\circ。
林深看着笔记本上的复数平面，看着那些旋转和伸缩的向量，心里忽然涌起一个念头：复数平面，像不像一片星空？
实轴和虚轴，像两条相互垂直的星河。每一个复数，都是星空中的一颗星星。复数的加法和乘法，就是星星之间的运动规律。
他想起了欧拉公式e^{i\theta}=\cos\theta+i\sia。这个公式，把复数和三角函数联系在了一起。当\theta从0变化到2\pi时，e^{i\theta}对应的点，在复数平面上画出了一个单位圆。
林深在笔记本上，画了一个单位圆。他看着这个圆，觉得它像一个宇宙的模型。圆心是原点，半径是1。那些在单位圆上的复数，像一颗颗围绕着原点旋转的星星。
他又想到了复数的指数形式。任何一个复数z=a+bi，都可以表示为z=re^{i\theta}，其中r是复数的模，\theta是复数的幅角。这个形式，让复数的乘法变得更加简洁。两个复数相乘，就是它们的模相乘，幅角相加。
林深的脑海里，浮现出一幅画面：在复数平面的星空中，两颗星星相乘，它们的光芒相互叠加，轨迹相互旋转，形成了一颗新的星星。
这个画面，如此美丽，如此和谐。
林深决定，用计算机来模拟复数平面的星空。他打开电脑，编写了一个程序。这个程序，可以生成复数平面上的点，并模拟复数的加法和乘法运算。
程序运行起来，屏幕上出现了一片黑色的背景，上面点缀着无数个彩色的光点。每个光点，代表一个复数。
林深输入了两个复数z_1=1+i和z_2=1-i，然后点击了“加法”按钮。屏幕上，代表z_1和z_2的两个光点，分别向对方移动，然后合并成了一个新的光点，代表z_1+z_2=2。
然后，他点击了“乘法”按钮。代表z_1和z_2的两个光点，开始旋转和伸缩，然后合并成了一个新的光点，代表z_1\times z_2=2。
林深看着屏幕上的光点，心里充满了震撼。他调整了程序的参数，让更多的复数出现在屏幕上。屏幕上的光点越来越多，像一片璀璨的星空。
他看着这片星空，忽然觉得，数学的世界，如此奇妙，如此美丽。
虚数，这个曾经被认为是“想象中的数”，如今却成了这片星空的基石。它像一个看不见的坐标轴，支撑着这片星空的运转。
林深想起了祖父的话：“虚数，乃实数之镜，映世间之无形。”
他觉得，祖父说得没错。虚数不仅是实数的镜子，更是宇宙的镜子。它映照着我们看不见的世界，映照着宇宙的本质。
第五章 量子世界的虚影
林深对虚数的探索，进入了一个更深的领域——量子力学。
他在图书馆里，看到了一本《量子力学导论》。书里写道，量子力学的核心方程——薛定谔方程，是一个复值偏微分方程。波函数\psi(x,t)，是一个复值函数，它的模的平方|\psi(x,t)|^2，代表着粒子在x处出现的概率密度。
林深的心里，充满了好奇。为什么量子力学要用复数来描述？虚数在量子世界里，到底扮演着什么样的角色？
他决定，去请教学校的量子力学教授——张教授。
张教授是一位白发苍苍的老人，和蔼可亲。他的办公室里，摆满了各种物理书籍和实验器材。林深走进办公室的时候，张教授正在看一篇论文。
“张教授，您好。”林深恭敬地说，“我是数学系的林深，我想向您请教一个问题。”
张教授抬起头，笑了笑：“哦，林深啊，我听说过你。你在复变函数方面的研究，做得很不错。有什么问题，你说吧。”
林深坐了下来，拿出笔记本，问道：“张教授，为什么量子力学要用复数来描述？虚数在量子世界里，有什么实际意义？”
张教授放下手中的论文，靠在椅背上，沉思了片刻，说：“这个问题，很多物理学家都思考过。其实，虚数在量子力学里，不是一个可有可无