子博弈完美均衡（SpE）是纳什均衡（Nash Equilibrium）的一种强化形式，专门用于动态博弈（dynamic Games），特别是那些包含多个决策阶段的博弈。SpE要求在**每一个可能的子博弈（Subgame）**中，策略都必须是一个纳什均衡。
1. 子博弈完美均衡的定义
一个策略组合构成子博弈完美均衡，当且仅当它在博弈的每一个可能的子博弈中都形成纳什均衡，即：
?玩家在每一步都必须选择最优策略，不论游戏是否已经按照这个路径进行。
?通过**逆向归纳法（backward Indu）**来求解SpE。
SpE解决了纳什均衡可能包含不可信威胁的问题。例如，在某些博弈中，某些威胁在理性情况下根本不会被执行，而纳什均衡可能会包含这些威胁。而SpE要求策略在所有子博弈中都合理，因此排除了这些不可信的威胁。
2. SpE的求解方法：逆向归纳法
求解子博弈完美均衡的主要方法是逆向归纳法（backward Indu），步骤如下：
1.从最后一个决策节点（终局）开始，找出最优策略。
2.回溯到前一个决策节点，在考虑后续最优策略的情况下，找到当前的最优选择。
3.依次回溯，直到回到博弈的起点，最终得出整个博弈的最优策略组合，即SpE。
3. 经典案例分析
(1) 讨价还价博弈（Rubinstein bargaining Game）
场景：
?两个玩家A和b协商如何分配100元。
?A先出价，b可以接受或拒绝：
?接受：按A的分配方案执行。
?拒绝：进入下一轮，由b出价，但总金额减少（如因折现或时间成本，变为90元）。
?这个过程可以继续，直到某一方接受提议。
解法（逆向归纳法）：
1.在最后一轮，b必须接受任何非零金额，因为否则大家都拿不到钱。
2.在倒数第二轮，A知道b在下一轮会接受，因此A会给b最少的钱，以确保自己利益最大化。
3.依次回溯，最终得出SpE，A在第一轮出一个合理的价钱让b接受，而b接受，因为等待对b来说更不划算。
(2) 进入威胁博弈（Entry deterrence Game）
场景：
?新企业E考虑进入市场，已有企业I可以选择降价竞争（Fierce）或维持高价（Acmodate）。
?如果E不进入，I赚15，E赚0。
?如果E进入：
?I选择降价，I 和 E 都亏损 -10。
?I选择高价，I赚10，E赚5。
解法（逆向归纳法）：
1.最后一步：如果E已经进入市场，I的最优策略是维持高价（因为降价会亏损）。
2.回溯：E知道I不会真的降价打压，所以E会进入市场。
3.结论：SpE是E进入，I维持高价。
这显示了SpE如何排除不可信威胁（即I宣称要降价，但实际上不会）。
(3) 信号博弈（Job market Signaling）
场景：
?求职者（worker）可以选择是否上大学（成本c）。
?雇主（Employer）决定是否提供高薪（h）或低薪（L）。
?如果雇主认为求职者能力高，就提供高薪，否则提供低薪。
解法（逆向归纳法）：
1.雇主的决策（最后一步）：
?如果看到求职者上大学，则认为其能力较高，给高薪。
?如果未上大学，则给低薪。
2.求职者的决策（回溯）：
?如果求职者能力高，上大学的成本c较低，愿意去。
?如果能力低，上大学的成本c较高，不愿意去。
3.SpE：
?高能力者选择上大学，雇主提供高薪。
?低能力者不选择上大学，雇主提供低薪。
这个模型解释了为什么学历可以作为一种信号，即使它本身不一定直接提高生产力。
4. SpE的应用
(1) 经济与商业
?定价策略：大公司是否降价以阻止新竞争者进入市场。
?供应链谈判：零售商与供应商的长期合作策略。
?拍卖：竞标者如何制定长期竞标策略，以最大化利益。
(2) 政治与国际关系